3月14號過白色情人節...遜，過π(pi)日...酷

轉載一篇癮科學的文章，關於3.14日的π (Pi)日，有許多意想不到科學進展和有趣之處喔。
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癮科學：慶祝 π 日！

其實... Pi 的是 3 月 14 號（看得出來為什麼吧 XD），也就是上個禮拜六，但小薑整個周末都忙著玩全軍破敵，倒忘了這回事了 ^^"。小薑會想寫這篇，是因為美國國會通過一項提案，定 3/14 日為國家 Pi 日，要求所有的學校必須在這一天進行以數字教學為主的活動，並且以「派」做為這個節日的主要食物。既然人家這麼看重這個節日，那小薑也來共襄盛舉一下吧～

Pi（音「拍」，希臘字母為 π）代表的是圓周率，也就是一個圓的周長和直徑之間的比例。Pi 是一個無理數，即它不能用兩個整數之間的比例來表示，同時 Pi 也是個超越數，即它不能用任何有限項的數學式來表示。正因為 Pi 的這兩個特性，使得 Pi 的小數位計算非常得困難，長久以來，算出圓周率的準確值就變成了一種挑戰，即使我們現在知道的位數之多，已經遠超越了有實用價值的範圍，還是不時地會聽到有人宣稱小數位又推進到了幾位了云云。

繼續和小薑一起來看 Pi 的奇聞軼事吧！

古典時期的 Pi
埃及人手上握有最早的 Pi 計算的數字。據 Rhind Mathematical Papyrus，一份約寫自公元前 1650 年的埃及草紙所載，更早之前的埃及人（大約西元前 20 世紀）採用 (16/9)² 做為近似值，結果略大於 3.16。差不多同時間的巴比倫人則是用比較簡單的 25/8，即 3.125。不過以上的上古記載都沒有提到方法，似乎只是用經驗法則逼近而已。第一個有系統地逼近 Pi 的數值的人，正是希臘的大數學家阿基米德。他用一個從外面包住圓的多邊形和一個被圓包住的多邊形的周長，來逼近圓周的周長（見上圖） -- 多邊形的邊數愈多，就愈接近真正的圓周。阿基米德用一個 96 邊形證明了 223/71 < π < 22/7，平均下來 Pi 約等於 3.1419。

中國人的 Pi
接下來相當長的一段時間，Pi 計算的主角轉移到了中國這邊。劉歆首先算出來 3.1547 這個數字（但方法不詳），大天文學家張衡則有完整的一套方法，得出了 Pi 約等於 SQRT(10)，或約 3.162。魏朝劉徽的九章算術是下一個大進展，他也是用幾何逼近法，但和阿基米德用包夾的不同，而是用內接的六角形往外一層一層地疊新的三角形上去，使得每一個新疊出來的多邊形都有原來多邊形邊數的兩倍。劉徽接著用一個很聰明的方法（從三角形往外畫方形）避開了阿基米德要計算兩個多邊形的困難，得到 3.141024 < π < 3.142704 這樣的數字。最後由南北朝的祖沖之使用劉徽方法的改良版（12288 邊形！），算出 3.1415926 < π < 3.1415927 這樣驚人的精確數字。這樣的精確度要到 1000 年後才在西方再次出現。

無窮級數的 Pi
祖沖之使用幾何逼近法的結果差不多是這種方法的極限了。要更進一步，就要利用無窮級數的力量。小薑這裡就不列這些無窮級數了（很難用打字的打出來 XD），但不管怎麼說，進了無窮級數的時代，找出更精確的 Pi 值，只在於你有沒有那個時間，和有沒有找出更快，更正確的方法。德國人 Ludolph van Ceulen 花了大半生找 Pi，最後算出了 Pi 值到小數後第 35 位，並非常光榮地將這個數字刻在墓碑上流芳百世。斯洛維尼亞人 Jurij Vega 在 1789 年計算到第 140 小數（但只有 126 位正確），英國人 William Ruthford 在 1841 年計算到了208 位小數，但只有 152 位正確，同樣是英國人的業餘數學家 William Shanks 花了 20 年的時間計算，並在 1873 年發佈了 Pi 到 707 位數的值（但只有 527 位數正確，這種偏差似乎是無窮級數逼近的結果？）。這個紀錄一直保持到了電腦時代。

電腦時代的 Pi
幾乎從電腦剛出現開始，就已經被丟去做計算 Pi 的工作了。馮紐曼在 1949 年用 ENIAC 計算 Pi 到小數點後第 2037 位，一共花了 70 個小時（維持電腦這麼久不掛才是最大的挑戰吧 XD），之後計算的位數呈爆炸性的進展， 1973 年過百萬位，1989 年過十億位，到 2005 年日本的一個小組計算到 1,241,100,000,000 位（1.24 兆）。這之間除了電腦運算能力的進步之外，運算法的進展也佔了很重要的地位，特別是 20 世紀初 Srinivasa Ramanujan 發展的一系列無窮級數，是現代所有電腦 Pi 運算的基礎。

能記到幾位數？
隨著 Pi 的位數愈計算愈多，自然就開始出現有人以背誦 Pi 的位數為樂。小薑背的是 3.141592 6535 8979 3238 4626，因為在後面有四組蠻規律的數字，所以並不難背。事實上每多一位數就能將精度提升 10 倍，所以小數點後 11 位數就足以計算地球大小的圓球的圓周精確至公厘，小數點後 39 位數就足以計算一個已知宇宙大小的圓，準確至一顆氫原子的大小。所以以一般用途來說，3.1415927 就綽綽有餘了。但這並不能阻止人類前撲後繼地向背誦最多位的人挑戰。目前金式世界紀錄的保持人是中國的 Lu Chao（找不到他名字的中文寫法），在破紀錄的當時他 24 歲，一共花了 24 小時又 4 分鐘背誦到了小數後第 67890 位。你能背到小數後第幾位呢？

費曼點
費曼點是指從小數後第 762 位開始的連續六個 9，之所以叫這個名字，是因為美國物理學家理查．費曼（Richard Feynman，就是別鬧了的那位）曾在一次演講中說過，他想背 Pi 的值一直到這裡，然後就可以用「九九九九九九等等...」做一個帥氣的結尾。費曼點並沒有任何顯著的數字意義，只是在這之前，一個數字頂多連續出現三次，突然之間連續出現六個九，而且出現在這麼前面的位置，有點稀奇而已。

3/14 是 Pi 日！
有男女朋友的人去過他們的白色情人節（別丟閃光彈來就好），我們剩下來的人來過 Pi 日吧！如果你還沒發現的話，選 3/14 當然是因為 3.14 的原因，同樣的，也有人說 3/14 1:59:26 是 Pi 秒，不過小薑是認為這有點過頭了 = =。「傳統上」Pi 日的食物是派，蘋果派什麼的都可以，除了是圓的之外，它還是 Pi 的諧音。想吃正餐的話，Pizza 也可以，因為是 Pizza 嘛... 關於 3/14 還有很有趣的一點，就是這天也是愛因斯坦的生日（也是我們一個好同事的生日...），大家別忘了吃派吃 Pizza 的時候，順便敬愛老一杯喔！

癮科科們想慶祝 Pi 日的話呢？小薑的建議是可以跑跑 Super Pi，讓你家的電腦也好好熟悉一下這個著名的常數，說不定在接下來的一年裡可以讓電腦跑得更順喔（誤）！小薑的破電腦跑 1M 要 22.125 秒 T.T
下面是 Pi 一直到費曼點為止的小數位數：

3.1415926535897 9323846264338 3279502884197 1693993751058 2097494459230 7816406286208 9986280348253 4211706798214 8086513282306 6470938446095 5058223172535 9408128481117 4502841027019 3852110555964 4622948954930 3819644288109 7566593344612 8475648233786 7831652712019 0914564856692 3460348610454 3266482133936 0726024914127 3724587006606 3155881748815 2092096282925 4091715364367 8925903600113 3053054882046 6521384146951 9415116094330 5727036575959 1953092186117 3819326117931 0511854807446 2379962749567 3518857527248 9122793818301 1949129833673 3624406566430 8602139494639 5224737190702 1798609437027 7053921717629 3176752384674 8184676694051 3200056812714 5263560827785 7713427577896 0917363717872 1468440901224 9534301465495 8537105079227 9689258923542 0199561121290 2196086403441 8159813629774 7713099605187 0721134999999

就背到這裡，然後很帥氣的說 999999 等等...吧！

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惟有基督在我們還作罪人的時候為我們死，神的愛就在此向我們顯明了。
ChunMin Chou,Dep of Psychology,National Taiwan Univ